Wartości i wektory własne – własności
(a) wyznacznik macierzy jest równy iloczynowi jej wartości własnych, tj.:
(a) liczba \( \lambda^{k} \) jest wartością własną macierzy \( A^{k} \) (dla \( k\in\mathbb{N} \));
(b) liczba
jest wartością własną macierzy
dla dowolnych \( m\in\mathbb{N} \), \( a_{m},\ldots,a_{0}\in\mathbb{C} \);
(c) jeżeli macierz \( A \) jest odwracalna, to \( \lambda^{-1} \) jest wartością własną macierzy \( A^{-1} \).
Ponadto, w każdym z powyższych przypadków, wektorem własnym odpowiadającym wymienionym wartościom własnym jest również wektor \( v \).
Przykład 1:
Sposób 1. Wielomian charakterystyczny macierzy \( A \) ma postać
Dodatkowo, ponieważ
zatem, na podstawie definicji wielomianu charakterystycznego, otrzymujemy
Sposób 2. Jeżeli \( \lambda \) jest wartością własną macierzy \( A \), to na podstawie twierdzenia 1(b), liczba \( \lambda^{3}-4\lambda^{2}-\lambda+4 \) jest wartością własną macierzy \( A^{3}-4A^{2}-A+4I. \) Stąd oraz z treści zadania otrzymujemy, że liczby \( -18 \), \( -8 \) oraz \( 4 \) są poszukiwanymi wartościami własnymi. Zatem, na podstawie twierdzenia 1(a),
Przykład 2:
Dla macierzy
o wartościach własnych \( \lambda_{1} \), \( \lambda_{2} \), \( \lambda_{3} \) obliczymy: a) \( \lambda_{1}\cdot\lambda_{2}\cdot\lambda_{3} \); b) \( \lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}. \)
Łatwo sprawdzić, że wielomian
jest wielomianem charakterystycznym macierzy \( A \). Wyznaczenie jego pierwiastków (które są wartościami własnymi macierzy \( A \)) nastręcza jednak sporo trudności, gdyż nie są one liczbami wymiernymi. Z tego powodu do rozwiązania zadania wykorzystamy twierdzenie 1 oraz twierdzenie 2.
Na podstawie twierdzenia 1(a) mamy
Z kolei, aby wyznaczyć sumę kwadratów wartości własnych wystarczy zauważyć, że liczby \( \lambda_{1}^{2},\lambda_{2}^{2},\lambda_{3}^{2} \) to wartości własne macierzy \( A^{2} \) (zob. twierdzenie 2(a)); poszukiwana suma jest więc śladem macierzy \( A^{2} \) (zob. twierdzenie 1(b)).
W rozważanym przypadku
zatem ostatecznie